12002. Дана трапеция ABCD
с основаниями AD
и BC
. Оказалось, что точка пересечения медиан треугольника ABD
лежит на биссектрисе угла BCD
. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC
лежит на биссектрисе угла ADC
.
Решение. Пусть P
и Q
— точки пересечения медиан треугольников ABD
и ABC
соответственно, а K
— середина AB
. Достроим треугольник ABD
до параллелограмма ALBD
. Тогда
CL=CB+BL=CB+AD.
Диагонали этого параллелограмма пересекаются в точке K
, поэтому DK=KL
. Поскольку DP=\frac{2}{3}PK
(см. задачу 1207), получаем DP=\frac{1}{3}DL
, т. е. PL=2DP
. Значит, по теореме о биссектрисе треугольника (см. задачи 1509 и 1510) точка P
лежит на биссектрисе угла BCD
тогда и только тогда, когда
\frac{CL}{CD}=\frac{PL}{PD}=2,
т. е. когда AD+BC=2CD
.
Аналогично, точка Q
лежит на биссектрисе угла ADC
при том же самом условии. Отсюда и следует утверждение задачи.