12009. В треугольнике ABC
проведена медиана CC_{1}
и отмечены точки A_{1}
и B_{1}
— середины сторон BC
и AC
соответственно, M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Докажите, что если точки A_{1}
, B_{1}
, C
и M
лежат на одной окружности, то квадраты сторон треугольника ABC
образуют арифметическую прогрессию (т. е. треугольник ABC
автомедианный).
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
и AB=c
, CC_{1}=m_{c}
. Пусть отрезки CC_{1}
и A_{1}B_{1}
пересекаются в точке N
. Тогда N
— середина средней линии A_{1}B_{1}
треугольника ABC
(см. задачу 2607), а так как CM=\frac{2}{3}CC_{1}=\frac{2}{3}m_{c}
, то
MN=CM-MN=\frac{2}{3}m_{c}-\frac{1}{2}m_{c}=\frac{1}{6}m_{c}.
По теореме об отрезках пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
CN\cdot MN=A_{1}N\cdot B_{1}N,~\mbox{или}~\frac{1}{2}m_{c}\cdot\frac{1}{6}m_{c}=\frac{1}{4}c\cdot\frac{1}{4}c,
откуда 4m_{c}^{2}=3c^{2}
, или (см. задачу 4014)
2a^{2}+2b^{2}-c^{2}=3c^{2}.
Отсюда получаем, что c^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{2}
. Что и требовалось доказать.
Примечание. См. также статью И.А.Кушнира «Классические средние в треугольнике», Квант, 2013, N2, с.32-33.