12019. Пусть H
— точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC
. Пусть W
— произвольная точка на отрезке BC
, отличная от точек B
и C
. Обозначим через M
и N
основания высот треугольника ABC
, проведённых из вершин B
и C
соответственно. Пусть \omega_{1}
— окружность, описанная около треугольника BWN
, а X
— такая точка на \omega_{1}
, что WX
— диаметр \omega_{1}
. Аналогично, пусть \omega_{2}
— окружность, описанная около треугольника CWM
, и Y
— такая точка на \omega_{2}
, что WY
— диаметр \omega_{2}
. Докажите, что точки X
, Y
и H
лежат на одной прямой.
Решение. (Решение Д.Крачуна). Пусть V
— вторая точка пересечения окружности \omega_{1}
и отрезка AW
. Тогда AV\cdot AW=AN\cdot AB
(см. задачу 2636). Поскольку точки B
, C
, M
, N
лежат на одной окружности (см. задачу 1691), AN\cdot AB=AM\cdot AC
, откуда AV\cdot AW=AM\cdot AC
. Значит, точки C
, M
, V
и W
лежат на одной окружности (см. задачу 114), т. е. V
— вторая точка пересечения окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
. Отсюда \angle XVW=\angle YVW=90^{\circ}
, или VX\perp AV
, VY\perp AV
.
Из точек M
и N
отрезок AH
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности \omega
с диаметром AH
. Из окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
получаем
\angle BNV=180^{\circ}-\angle BVW=\angle CWV=180^{\circ}-\angle CMW=\angle AMV.
Тогда
\angle ANV=180^{\circ}-BNV=180^{\circ}-\angle AMV,
поэтому точки A
, M
, N
, V
тоже лежат на одной окружности (см. задачу 49). Значит, точка V
лежит на \omega
, и VH\perp AV
. Следовательно, точки X
, Y
и H
лежат на одной прямой, перпендикулярной AV
и проходящей через точку V
. Что и требовалось доказать.