12031. На стороне AC
треугольника ABC
взята такая точка D
, для которой BD=BC
, причём DC=2AD
. Пусть E
— точка касания окружности, вписанной в треугольник BDC
, с отрезком BD
. Найдите величину угла AED
, если \angle C=40^{\circ}
.
Ответ. 20^{\circ}
.
Решение. Пусть O
— центр вписанной окружности равнобедренного треугольника BDC
, M
— точка касания со стороной CD
. Тогда M
— середина CD
, DO
— биссектриса угла BDC
(см. задачу 1724), DO\perp EM
(см. задачу 1180) и DE=DM=DA
(см. задачу 1723).
Медиана ED
треугольника AEM
равна половине стороны AM
, поэтому треугольник AEM
прямоугольный, AE\perp EM
(см. задачу 1188). Значит, DO\parallel AE
. Следовательно,
\angle AED=\angle ODE=\frac{1}{2}\angle CDB=\frac{1}{2}\angle BCD=\frac{1}{2}\cdot40^{\circ}=20^{\circ}.
Источник: Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон». — 2012, XXI, письменный индивидуальный тур, задача 2
Источник: Журнал «Квант». — 2013, № 3, с. 51, задача 2