12037. В остроугольном треугольнике ABC
ортоцентр (точка пересечения высот) H
делит высоту CC_{1}
в отношении 3:1
, считая от вершины C
. Найдите угол AMB
, где M
— середина высоты CC_{1}
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Пусть D
— середина отрезка C_{1}B
. Тогда отрезок MD
параллелен стороне BC
(как средняя линия треугольника BCC_{1}
), и поэтому высота исходного треугольника, проведённая из вершины A
, — одновременно и высота треугольника AMD
, а значит, H
— ортоцентр и этого треугольника. С другой стороны, из условия следует, что H
— середина отрезка MC_{1}
, поэтому высота треугольника AMD
, проведённая из вершины D
, параллельна отрезку BM
(как средняя линия треугольника BMC_{1}
). Следовательно, искомый угол прямой.
Второй способ. Опишем окружность около треугольника ABC
и продолжим высоту CC_{1}
до пересечения с этой окружностью в точке P
. Тогда C_{1}P=C_{1}H
(см. задачу 4785). Обозначим C_{1}P=C_{1}H=a
. Тогда
CH=3a,~MC_{1}=2a,~CC_{1}=4a.
По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
AC_{1}\cdot C_{1}B=CC_{1}\cdot C_{1}P=4a\cdot a=4a^{2}=MC_{1}^{2}.
Следовательно (см. задачу 1987), \angle AMB=90^{\circ}
.