12069. Вершины K
, L
, M
и N
параллелограмма KLMN
, площадь которого равна 30, лежат на сторонах соответственно AB
, BC
, CD
и DA
четырёхугольника ABCD
и делят его стороны в отношении 1:3
, считая по часовой стрелке. Известно, что около четырёхугольника ABCD
можно описать окружность. Найдите её радиус, если AB=6
.
Ответ. 5.
Решение. Пусть X
, Y
, Z
и T
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и DA
четырёхугольника ABCD
. Тогда XYZT
— параллелограмм (см. задачу 1204). Докажем, что его центр O'
совпадает с центром O
параллелограмма KLMN
. Действительно (см. задачу 4508),
\overrightarrow{OO'}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{KX}+\overrightarrow{LY}+\overrightarrow{MZ}+\overrightarrow{NT})=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{CD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{DA}\right)=
=\frac{1}{16}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA})=\frac{1}{16}\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.
Следовательно, точки O
и O'
совпадают.
Тогда треугольник KOX
равен треугольнику MOZ
по двум сторонам и углу между ними. Значит, \angle OKX=\angle OMZ
, поэтому AB\parallel CD
. Аналогично, BC\parallel AD
. Значит, вписанный четырёхугольник ABCD
— параллелограмм. Следовательно, это прямоугольник.
Пусть BC=AD=4x
. Точка O
— общий центр параллелограмма KLMN
и прямоугольника ABCD
(см. задачу 1862), поэтому прямая LN
делит их площади пополам, а так как
S_{ABLN}=S_{\triangle AKN}+S_{\triangle BKL}+S_{\triangle KLN},
то
\frac{x+3x}{2}\cdot6=\frac{1}{2}\cdot3x\cdot\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\cdot x\cdot\frac{9}{2}+15,~12x=\frac{9}{2}x+15,
откуда x=2
. Значит, AD=4x=8
. По теореме Пифагора
BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10.
Следовательно, радиус окружности, описанной около прямоугольника ABCD
, равен 5.