12101. Окружность, вписанная в равнобокую трапецию, разбивает её боковую сторону на отрезки, равные 4 и 8. Найдите диагонали трапеции.
Ответ. 4\sqrt{17}
.
Решение. Пусть ABCD
— равнобокая трапеция с основаниями AD
и BC
, K
— точка касания с боковой стороной CD
вписанной в трапецию окружности с центром O
радиуса r
, CK=4
и KD=8
, CH
— высота трапеции.
Треугольник COD
прямоугольный (см. задачу 313), а OK=r
— его высота, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
r=OK=\sqrt{CK\cdot KD}=\sqrt{4\cdot8}=4\sqrt{2}
(см. задачу 2728), а так как высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то CH=2r=8\sqrt{2}
.
Поскольку в равнобокую трапецию вписана окружность, проекция диагонали трапеции на основание равна боковой стороне (см. задачу 2330), поэтому
AH=CD=CK+KD=4+8=12.
Следовательно, по теореме Пифагора
AC=\sqrt{AH^{2}+CH^{2}}=\sqrt{12^{2}+2\cdot8^{2}}=4\sqrt{17}.