12253. Известно, что в трапецию с углом 30^{\circ}
при основании можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. Найдите отношение площади трапеции к площади, вписанного в неё круга. Найдите отношение площади трапеции к площади, описанного около неё круга.
Ответ. \frac{8}{\pi}
, \frac{2}{5\pi}
.
Решение. Пусть r
— радиус круга с центром O
, вписанного в данную трапецию ABCD
, \angle BAD=30^{\circ}
, BH=2r
— высота трапеции. Эта трапеция равнобедренная, так как около неё описать окружность (см. задачу 5003).
Пусть площадь трапеции равна S
, а площадь вписанного в неё круга равна S_{1}
. Из прямоугольного треугольника ABH
находим, что AB=2BH=4r
. Поскольку трапеция описанная и равнобедренная, сумма её оснований равна сумме боковых сторон, поэтому средняя линия трапеции равна боковой стороне (см. задачу 1930). Значит,
S=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=AB\cdot BH=4r\cdot2r=8r^{2},
а так как S_{1}=\pi r^{2}
, то
\frac{S}{S_{1}}=\frac{8r^{2}}{\pi r^{2}}=\frac{8}{\pi}.
В равнобедренной трапеции проекция диагонали на основание равна полусумме оснований (см. задачу 1921), т. е. DH=\frac{AD+BC}{2}=4r
. Тогда из прямоугольного треугольника BHD
находим, что
BD=\sqrt{BH^{2}+DH^{2}}=\sqrt{4r^{2}+16r^{2}}=2r\sqrt{5}.
Пусть R
— радиус круга площади S_{2}
, описанного около трапеции. По теореме синусов
R=\frac{BD}{2\sin\angle BAD}=\frac{2r\sqrt{5}}{2\sin30^{\circ}}=2r\sqrt{5},
поэтому
S_{2}=\pi R^{2}=4\pi\cdot5=20\pi.
Следовательно,
\frac{S}{S_{2}}=\frac{8r^{2}}{20\pi r^{2}}=\frac{2}{5\pi}.