12283. На стороне BC
параллелограмма ABCD
отмечены точки E
и F
, причём E
лежит между B
и F
. Диагонали AC
и BD
пересекаются в точке O
. Прямые AE
и DF
касаются окружности, описанной около треугольника AOD
. Докажите, что они касаются и окружности, описанной около треугольника EOF
.
Решение. Первый способ. Будем обозначать (XYZ)
окружность, описанную около треугольника XYZ
.
По теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) \angle EAO=\angle ADO
, а из параллельности BC\parallel AD
— \angle EBO=\angle ADO
. Значит, \angle EAO=\angle EBO
. Следовательно, четырёхугольник ABEO
вписанный (см. задачу 12).
Отсюда и из параллельности AB\parallel CD
получаем, что
\angle OFE=\angle ODC=\angle OBA=\angle OEA.
Следовательно, по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144), прямая AE
— касательная к окружности (EOF)
. Аналогично, прямая DF
касается окружности (EOF)
.
Второй способ. Четырёхугольник AEFD
симметричен относительно серединного перпендикуляра к отрезку AD
, поэтому линия центров окружностей (AOD)
и (EOF)
— это серединный перпендикуляр к AD
. Тогда радикальная ось m
этих окружностей параллельна AD
и проходит через точку O
. Эта точка равноудалена от прямых AD
и BC
(как центр параллелограмма ABCD
), значит, прямая m
содержит среднюю линию трапеции AEFD
. В частности, она проходит через середину M
отрезка AE
. Значит, степени точки M
относительно окружностей (AOD)
и (EOF)
равны, т. е. MA^{2}=ME\cdot ME'
, где E'
— вторая точка пересечения прямой OE
с окружностью EOF
. Из равенства MA=ME
получаем, что точка E'
совпадает с E
, откуда следует касание окружности EOF
и прямой AE
. Аналогично доказываем касание окружности EOF
и прямой DF
.