12285. Вписанная окружность треугольника ABC
касается его сторон BC
, AC
и AB
в точках L
, M
и N
соответственно. Отрезок AL
(чевиана Жергонна) пересекается с биссектрисой, проведённой из вершины B
, в точке P
. Отрезок BM
пересекается с биссектрисой, проведённой из вершины C
, в точке Q
. Отрезок CN
пересекается с биссектрисой, проведённой из вершины A
, в точке R
. Докажите, что
\frac{AP}{PL}\cdot\frac{BQ}{QM}\cdot\frac{CR}{RN}\geqslant8.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
и AB=c
. Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда (см. задачу 219)
BL=p-b,~CM=p-c,~AN=p-a.
Поскольку BP
— биссектриса треугольника ABL
, то (см. задачу 1509)
\frac{AP}{PL}=\frac{AB}{BL}=\frac{c}{p-b},~\frac{BQ}{QM}=\frac{a}{p-c},~\frac{CR}{RN}=\frac{b}{p-a}.
Следовательно,
\frac{AP}{PL}\cdot\frac{BQ}{QM}\cdot\frac{CR}{RN}=\frac{abc}{(p-a)(p-b)(p-c)},
а так как (см. задачу 6869)
8(p-a)(p-b)(p-c)\leqslant abc,
то
\frac{AP}{PL}\cdot\frac{BQ}{QM}\cdot\frac{CR}{RN}\geqslant8.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1981, № 10, задача 588, с. 306