12308. Окружность с центром O
вписана в треугольник ABC
. Прямая, касающаяся этой окружности, пересекает стороны AB
и AC
в точках N
и M
соответственно. Прямые, проведённые через точки M
и N
параллельно OC
и OB
соответственно, пересекаются в точке Q
.
а) Докажите, что точки O
, M
, Q
и N
лежат на одной окружности.
б) Найдите MN
, если AB=AC=13
, BC=10
, а площадь треугольника MAN
равна 10.
Ответ. 5.
Решение. а) Обозначим \angle BAC=\alpha
. Лучи BO
и CO
— биссектрисы углов треугольника ABC
при вершинах B
и C
, поэтому
\angle BOC=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770).
Лучи MO
и NO
— биссектрисы внешних углов треугольника MAN
при вершинах M
и N
, поэтому
\angle MON=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770).
Поскольку стороны QM
и QN
угла MQN
соответственно сонаправлены сторонам OC
и OB
угла BOC
, эти углы равны. Значит,
\angle MQN+\angle MON=\angle BOC+\angle MON=\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)+\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=180^{\circ}.
Следовательно, четырёхугольник OMQN
вписанный, т. е. точки O
, M
, Q
и N
лежат на одной окружности.
б) Пусть K
и L
— точки касания вписанной окружности треугольника ABC
со сторонами AB
и AC
соответственно, r
— радиус окружности, AH
— высота треугольника, p
— полупериметр треугольника ABC
, S
— его площадь, p_{1}
— полупериметр треугольника MAN
, S_{1}
— его площадь.
Тогда
S=\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{1}{2}BC\cdot\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=5\cdot\sqrt{13^{2}-5^{2}}=5\cdot12=60,
p=13+5=18,~r=\frac{S}{p}=\frac{60}{18}=\frac{10}{3},~p_{1}=AL=AK=p-BC=18-10=8
(см. задачи 1750 и 219), а так как окружность с центром O
и радиусом r
— вневписанная окружность треугольника MAN
, то S_{1}=r(p_{1}-MN)
(см. задачу 392), или 10=\frac{10}{3}(8-MN)
. Отсюда находим, что MN=5
.