12473. Радиусы описанной и вписанной окружностей равнобедренного треугольника равны 18 и 5 соответственно. Найдите наибольшее возможное значения высоты, опущенной на основание.
Ответ. 35.
Решение. Пусть R=18
и r=5
— радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей равнобедренного треугольника ABC
с основанием BC
, AH=h
— высота треугольника, \angle ABC=\beta
— угол при основании, I
— центр вписанной окружности.
Тогда (см. задачу 713)
\frac{18}{5}=\frac{R}{r}=\tg\frac{\beta}{2}\sin2\beta=\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta}\cdot2\sin\beta\cos\beta=\frac{2\sin^{2}\beta\cos\beta}{1+\cos\beta}=
=\frac{2(1-\cos^{2}\beta)\cos\beta}{1+\cos\beta}=2(1-\cos\beta)\cos\beta,
откуда 36\cos^{2}-36\cos\beta+5=0
. Из этого уравнения находим, что \cos\beta=\frac{1}{6}
или \cos\beta=\frac{5}{6}
.
Отрезок BI
— биссектриса треугольника ABH
(см. задачу 1724), поэтому (см. задачу 1509)
\frac{HI}{AI}=\frac{BH}{AB}=\cos\beta,~\mbox{или}~\frac{r}{h-r}=\cos\beta,
т. е. \frac{5}{h-5}=\cos\beta
.
Если \cos\beta=\frac{1}{6}
, то \frac{5}{h-5}=\frac{1}{6}
, поэтому h=35
.
Если \cos\beta=\frac{5}{6}
, то \frac{5}{h-5}=\frac{5}{6}
, поэтому h=11
.
Следовательно, h=35
— наибольшее значение высоты AH
.