12474. В прямоугольном треугольнике ABC
с гипотенузой AB
проведены биссектриса CL
, медиана CM
и высота CN
. Найдите площадь треугольника CLM
, если площадь треугольника CNM
равна 5, а CN:CM=2:3
.
Ответ. 3.
Решение. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), поэтому треугольник AMC
равнобедренный, NA=MC
. Тогда
\angle ACM=\angle CAM=90^{\circ}-\angle CBN=\angle BCN,
а так как \angle BCL=\angle ACL
, то
\angle LCN=\angle BCL-\angle BCN=\angle ACL-\angle ACM=\angle LCM,
то CL
— биссектриса треугольника MCN
. Значит (см. задачу 1509),
\frac{NL}{LM}=\frac{CN}{CM}=\frac{2}{3}.
Тогда (см. задачу 3000),
\frac{S_{\triangle CLN}}{S_{\triangle CLM}}=\frac{NL}{ML}=\frac{2}{3}.
Следовательно,
S_{\triangle CLM}=\frac{3}{5}S_{\triangle CNM}=\frac{3}{5}\cdot5=3.