12508. Пусть ABCD
— параллелограмм. Вписанная в треугольник ABD
окружность касается сторон AB
и AD
соответственно в точках M
и N
, вписанная в треугольник ACD
окружность касается сторон AD
и DC
соответственно в точках P
и Q
. Докажите, что прямые MN
и PQ
перпендикулярны.
Решение. Центр окружности, вписанной в треугольник ABD
, лежит на биссектрисе угла BAD
, а центр окружности, вписанной в треугольник ACD
, — на биссектрисе угла ADC
(см. задачу 1724). Пусть S
— точка пересечения этих биссектрис, а T
— точка пересечения прямых MN
и PQ
. Тогда AS\perp DS
, (см. задачу 1146), а так как AS\perp MT
и DS\perp QT
(см. задачу 1180), то MT\perp QT
. Следовательно, MN\perp PQ
.