12533. Биссектриса разбивает треугольник на два треугольника, радиусы вписанных окружностей которых равны. Докажите, что исходный треугольник равнобедренный.
Решение. Пусть биссектриса BP
треугольника ABC
разбивает его на два треугольника ABP
и CBP
, радиусы вписанных окружностей которых равны. Обозначим \frac{AB}{BC}=k
, p_{1}
и p_{2}
— полупериметры треугольников ABP
и CBP
соответственно, r
— радиус окружностей, вписанных в треугольники ABP
и CBP
. В силу свойства биссектрисы (см. задачу 1509) \frac{AP}{CP}=\frac{AB}{BC}=k
. Тогда (см. задачи 3000 и 452)
k=\frac{AB}{BC}=\frac{AP}{PC}=\frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle CBP}}=\frac{p_{1}r}{p_{2}r}=\frac{p_{1}}{p_{2}}=
=\frac{2p_{1}}{2p_{2}}=\frac{AB+AP+BP}{BC+CP+BP}=\frac{kBC+kCP+BP}{BC+CP+BP},
откуда
kBC+kCP+BP=kBC+kCP+kBP,~BP=kBP,~k=1.
Следовательно, \frac{AB}{BC}=k=1
, т. е. AB=BC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2014-2015, первый этап, задача 2, 11 класс