12554. Вписанная окружность треугольника ABC
касается его сторон AB
, BC
и CA
в точках P
, K
и M
соответственно, а точки T
и X
— середины отрезков MP
и MK
. Докажите, что четырёхугольник ATXC
вписанный.
Решение. Поскольку AM=AP
, BP=BK
, CM=CK
, треугольники APM
, BPK
и CMK
равнобедренные, отрезки AT
и CX
— высоты треугольников APM
и CMK
(см. задачу 1180), а средняя линия TX
треугольника PKM
параллельна его стороне PK
. Тогда
\angle TAM=\frac{1}{2}\angle BAC,~\angle TXC=\angle CXM+\angle TXM=90^{\circ}+\angle PKM=90^{\circ}+\angle PMA,
(см. задачу 87), а так как
\angle PMA+\angle TAM=90^{\circ},
то сумма углов
\angle TAM+\angle TXC=(90^{\circ}-\angle PMA)+(90^{\circ}+\angle PMA)=180^{\circ}.
Следовательно (см. задачу 49), четырёхугольник ATXC
вписанный.
Примечание. Можно и так: лучи CX
и AX
пересекаются в центре I
вписанной окружности; четырёхугольник MTIX
вписанный, значит, \angle TXI=\angle TMI=\angle CAT
, следовательно, четырёхугольник ATXC
вписанный.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2017-2018, второй этап, задача 2, 9 класс