12611. Известно, что высота AH
прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое отрезков BH
и CH
(см. задачу 2728). Медиана AM
равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), поэтому она также есть среднее геометрическое отрезков BM
и CM
. Существуют ли другие такие отрезки, отличные от AH
и AM
?
Ответ. Да.
Решение. Пусть D
— точка прямой BC
, отличная от H
и M
, для которой AD^{2}=BD\cdot CD
. Рассмотрим описанную окружность \Omega
треугольника ABC
, т. е. окружность с диаметром BC
.
Пусть точка D
на отрезке BC
, а луч AD
пересекает эту окружность в точке X
. Тогда
AD^{2}=BD\cdot CD\cdot CD=AD\cdot DX,
откуда AD=DX
, т. е. D
— середина хорды DX
, поэтому AD
— высота треугольника ABC
(см. задачу 1677).
Пусть точка D
на продолжении отрезка BC
. Тогда из равенства AD^{2}=BD\cdot CD
получаем, что AD
— касательная к окружности \Omega
(см. задачу 4776). Следовательно, точка D
, отличная H
и M
, тоже удовлетворяет рассматриваемому условию.