12615. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность с диаметром AD
; точка O
пересечения его диагоналей AC
и BD
— центр другой окружности, касающейся стороны BC
. Из вершин B
и C
проведены касательные ко второй окружности, пересекающиеся в точке T
. Докажите, что точка T
лежит на отрезке AD
.
Решение. Первый способ. Пусть прямые AB
и CD
пересекаются в точке E
. Из вершин B
и C
диаметр AD
виден под прямым углом (см. задачу 1689), значит, AC
и BD
— высоты треугольника AED
, а O
— точка их пересечения (ортоцентр).
Пусть прямая EO
пересекает диаметр AD
в точке F
. Тогда EF
— третья высота треугольника AED
(см. задачу 1256), а BFC
— ортотреугольник остроугольного треугольника AED
. Точка O
— центр окружности, вписанной в треугольник BFC
(см. задачу 533). Эта окружность касается отрезка BC
, значит, она совпадает со второй окружностью, о которой говорится в условии задачи (центры обеих окружностей совпадают, а радиусы равны как расстояние от центра O
до прямой BC
). Значит, точка F
совпадает с T
. Следовательно, точка T
лежит на диаметре AD
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть точка D
не лежит на отрезке AD
. Тогда прямая CT
пересекает отрезок AD
в некоторой точке K
, а прямая BT
пересекает AD
в некоторой точке P
. Луч CA
— биссектриса угла BCD
(см. задачу 1724), поэтому
\angle OCK=\angle ACT=\angle ACB=\angle ADB=\angle KDO.
Значит, около четырёхугольника OCKD
можно описать окружность, а так как \angle OCD=\angle ACD=90^{\circ}
, то OD
— диаметр этой окружности. Следовательно, \angle OKD=90^{\circ}
, т. е. OK\perp AD
. Аналогично, OP\perp AD
. Таким образом, через точку O
проведены два перпендикуляра к прямой AD
, что невозможно. Значит, точки K
и P
совпадают с точкой T
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2009-2010, XXXVI, окружной этап, задача 5, 11 класс