12680. Пусть a
, b
, c
и d
— стороны четырёхугольника, вписанного в данную окружность. Докажите, что произведение (ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)
достигает своего максимума, если четырёхугольник — квадрат.
Решение. Пусть ABCD
— четырёхугольник со сторонами AB=a
, BC=b
, CD=c
, AD=d
и диагоналями AC=e
,BD=f
, вписанный в окружность фиксированного радиуса R
. По теореме Птолемея (см. задачу 130) ac+bd=ef
.
Поскольку S_{\triangle ABC}=\frac{abe}{4R}
и S_{\triangle ACD}=\frac{cde}{4R}
(см. задачу 4259), то (ab+cd)e=4R\cdot S_{ABCD}
. Аналогично, (ad+bc)f=4R\cdot S_{ABCD}
. Значит, произведение
(ab+cd)e\cdot(ad+bc)f=(ab+cd)\cdot ef\cdot(ac+bd)(ad+bc)=
=(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)=16R^{2}\cdot S_{ABCD}^{2}
максимально, когда четырёхугольник ABCD
имеет максимальную площадь.
Пусть \varphi
— угол между диагоналями четырёхугольника ABCD
. Поскольку e\leqslant2R
, f\leqslant2R
(см. задачу 3538) и \sin\varphi\leqslant1
, то
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\varphi=\frac{1}{2}ef\sin\varphi\leqslant\frac{1}{2}\cdot2R\cdot2R=2R^{2}.
Значит, наибольшую площадь имеет квадрат со стороной R\sqrt{2}
. Следовательно, произведение максимально, когда ABCD
— квадрат со стороной R\sqrt{2}
.