12717. В треугольнике ABC
известно, что AB\gt AC
. Биссектриса угла BAC
пересекает сторону BC
в точке D
. Окружность с диаметром BD
пересекает описанную окружность \Omega
треугольника ABC
в точке P
, отличной от B
, а окружность с диаметром CD
пересекает окружность \Omega
в точке Q
, отличной от C
. Прямые PQ
и BC
пересекаются в точке X
. Докажите, что прямая AX
касается окружности \Omega
.
Решение. Докажем сначала, что прямая BC
— касательная к описанной окружности \omega
треугольника PDQ
. Действительно, четырёхугольник BCQP
вписанный, а \angle CDQ=90^{\circ}
, поэтому
\angle BDP=90^{\circ}-\angle PBD=90^{\circ}-\angle PBC=
=90^{\circ}-(180^{\circ}-\angle CQP)=\angle CQP-90^{\circ}=\angle DQP.
Значит, прямая BC
в точке D
касается окружности \omega
(см. задачу 144).
Пусть касательная к окружности \Omega
, проведённая в точке A
, пересекает прямую BC
в точке Y
. Тогда YA=YD
(см. задачу 4708), поэтому YA^{2}=YD^{2}
, т. е. равны степени точки Y
относительно окружностей \Omega
и \omega
. Значит, точка Y
лежит на радикальной оси этих окружностей, т.е на прямой PQ
(см. задачу 6392). Тогда точка Y
совпадает с X
. Отсюда следует утверждение задачи.