12733. Высоты AD
и BE
треугольника ABC
, пересекаются в точке H
, а M
— середина стороны AC
. Точка X
лежит на описанной окружности треугольника, причём \angle BXH=90^{\circ}
. Докажите, что четырёхугольники AMDX
и CMEX
вписанные, а XM
— биссектриса углов AXD
и CXE
.
Указание. См. задачи 6300, 12, 1109.
Решение. Точка H'
, симметричная H
относительно точки M
, лежит на описанной окружности \Omega
треугольника ABC
, причём BH'
— диаметр этой окружности (см. задачу 6300). Тогда, если X'
— точка пересечения луча H'H
с окружностью \Omega
, то \angle BX'H=90^{\circ}
. Значит, точка X'
, как и точка X
, лежит на окружности \omega
с диаметром BH
. Таким образом, X'
— отличная от B
точка пересечения окружностей \Omega
и \omega
, а значит, X'
совпадает с X
. Следовательно M
, H
и X
лежат на одной прямой.
Точки A
, E
, D
и C
лежат на одной окружности, а также точки E
, X
, D
и H
лежат на одной окружности, поэтому
\angle MAD=\angle CAD=\angle CED=\angle HED=\angle HXD=\angle MXD.
Из точек A
и X
, лежащих по одну сторону от прямой DM
, отрезок DM
виден под одним и тем же углом, значит, точки A
, M
, D
и X
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Следовательно, четырёхугольник AMDX
вписанный.
Аналогично,
\angle MCE=\angle ACE=\angle ADE=\angle HDE=\angle HXE=\angle MXE.
Следовательно, четырёхугольник CMEX
вписанный.
Отрезок DM
— медиана прямоугольного треугольника ADC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
DM=\frac{1}{2}AC=AM
(см. задачу 1109). Хорды DM
и AM
описанной окружности четырёхугольника AMDX
равны, значит, равны опирающиеся на них вписанные углы DXM
и AXM
. Следовательно, XM
— биссектриса угла AXD
. Аналогично, хорды EM
и CM
описанной окружности четырёхугольника CMEX
равны, следовательно, XM
— биссектриса угла CXE
.
Что и требовалось доказать.