12734. Точка M
— середина стороны AC
треугольника ABC
, H
— ортоцентр треугольника. Касательные, проведённые к описанной окружности треугольника ABC
в точках A
и C
, пересекаются в точке T
. Точка X
лежит на этой окружности, причём \angle BXH=90^{\circ}
. Докажите, что точка, симметричная H
относительно прямой AC
, и точки T
и X
лежат на одной прямой.
Указание. См. задачи 6300, 10449, 20.
Решение. Точка H'
, симметричная H
относительно точки M
, лежит на описанной окружности \Omega
треугольника ABC
, причём BH'
— диаметр этой окружности (см. задачу 6300). Тогда, если X'
— точка пересечения луча H'H
с окружностью \Omega
, то \angle BX'H=90^{\circ}
. Значит, точка X'
, как и точка X
, лежит на окружности \omega
с диаметром BH
. Таким образом, X'
— отличная от B
точка пересечения окружностей \Omega
и \omega
, а значит, X'
совпадает с X
. Следовательно M
, H
и X
лежат на одной прямой.
Пусть луч BH
пересекает окружность \Omega
в точке B_{1}
. Тогда точка B_{1}
симметрична точке H
относительно прямой AC
(см. задачу 4785).
Поскольку XT
— симедиана треугольника AXC
(см. задачу 10449), достаточно доказать, что XB_{1}
— симедиана этого треугольника. Поскольку BH'
— диаметр окружности \Omega
, а луч BB_{1}
содержит его высоту, то
\angle AXM=\angle AXH'=\angle ABH'=\angle CBB_{1}=\angle CXB_{1}
(см. задачу 20), а это и означает, что XB_{1}
— симедиана треугольника AXC
. Отсюда следует утверждение задачи.