12737. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AH_{a}
и BH_{b}
. Прямая H_{a}H_{b}
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точках P
и Q
. Точка A'
симметрична точке A
относительно прямой BC
, точка B'
симметрична точке B
относительно прямой AC
. Докажите, что точки A'
, B'
, P
и Q
лежат на одной окружности.
Указание. Докажите, что прямая H_{a}H_{b}
— радикальная ось описанных окружностей треугольников ABC
и HA'B'
.
Решение. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
. Покажем, что прямая H_{a}H_{b}
— радикальная ось описанных окружностей \Omega
и \Omega'
треугольников ABC
и HA'B'
соответственно. Отсюда будет следовать утверждение задачи, поскольку прямая H_{a}H_{b}
будет проходить через общие точки этих окружностей, а это эквивалентно тому, что точки P
и Q
будут лежать на окружности \Omega'
(см. задачу 6392).
Пусть точка H'_{a}
симметрична точке H
относительно прямой BC
. Степень точки H_{a}
относительно окружности \Omega'
равна -HH_{a}\cdot H_{a}A'
, что, в силу симметрии, равно -H'_{a}H_{a}\cdot H_{a}A
. Как известно, точка H'_{a}
лежит на окружности \Omega
(см. задачу 4785), поэтому последнее выражение равно степени точки H_{a}
относительно окружности \Omega
. Таким образом, точка H_{a}
имеет равные степени относительно окружностей \Omega
и \Omega'
, а значит, лежит на их радикальной оси. То же верно для точки H_{b}
, а значит, прямая H_{a}H_{b}
и есть радикальная ось этих окружностей, что завершает решение.