12737. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AH_{A}
и BH_{B}
. Прямая H_{A}H_{B}
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точках P
и Q
. Точка A'
симметрична точке A
относительно прямой BC
, точка B'
симметрична точке B
относительно прямой AC
. Докажите, что точки A'
, B'
, P
и Q
лежат на одной окружности.
Решение. Первый способ. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
. Покажем, что прямая H_{A}H_{B}
— радикальная ось описанных окружностей \Omega
и \Omega'
треугольников ABC
и HA'B'
соответственно. Отсюда будет следовать утверждение задачи, поскольку прямая H_{A}H_{B}
будет проходить через общие точки этих окружностей, а это эквивалентно тому, что точки P
и Q
будут лежать на окружности \Omega'
(см. задачу 6392).
Пусть точка H'_{A}
симметрична точке H
относительно прямой BC
. Степень точки H_{a}
относительно окружности \Omega'
равна -HH_{A}\cdot H_{A}A'
, что, в силу симметрии, равно -H'_{A}H_{A}\cdot H_{A}A
. Как известно, точка H'_{A}
лежит на окружности \Omega
(см. задачу 4785), поэтому последнее выражение равно степени точки H_{A}
относительно окружности \Omega
. Таким образом, точка H_{A}
имеет равные степени относительно окружностей \Omega
и \Omega'
, а значит, лежит на их радикальной оси. То же верно для точки H_{B}
, а значит, прямая H_{A}H_{B}
и есть радикальная ось этих окружностей, что завершает решение.
Второй способ. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
. Точка X
, симметричная точке H
относительно прямой BC
лежит на описанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 4785), поэтому H_{A}H=H_{A}X
, а так как по условию H_{A}A'=H_{A}A
, то
H_{A}H\cdot H_{A}A'=H_{A}X\cdot H_{A}A=H_{A}B\cdot H_{A}C=H_{A}P\cdot H_{A}Q
(см. задачу 2627). Значит, точки P
, Q
, H
и A'
лежат на одной окружности (см. задачу 114). Аналогично, точки P
, Q
, H
и B'
лежат на одной окружности, а так как через точки P
, Q
и H
, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, то точки A'
, B'
, P
и Q
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.
Примечание. См. задачу 4785.
Автор: Кожевников П. А.
Источник: Кавказская математическая олимпиада. — 2021, VI, задача 4, сеньоры
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2023, XIX, заочный тур, 9-11 классы, задача 16