12750. Центроидом четырёхугольника будем называть точку пересечения двух прямых, соединяющих середины его противоположных сторон. Дан шестиугольник ABCDEF
, вписанный в окружность \Omega
с центром O
. Известно, что AB=DE
и BC=EF
. Точки X
, Y
и Z
— центроиды четырёхугольников ABDE
, BCEF
и CDFA
соответственно. Докажите, что высоты треугольника XYZ
пересекаются в точке O
.
Решение. Нам понадобится вспомогательное утверждение: центроид четырёхугольника является серединой отрезка, соединяющего середины его диагоналей.
Докажем это утверждение. Пусть точки K
, L
, M
и N
— середины сторон соответственно PQ
, QR
, RS
и SP
четырёхугольника PQRS
, а U
и V
— середины диагоналей PR
и QS
соответственно. Тогда KLMN
и ULVN
— параллелограммы с общей диагональю LN
(см. задачи 1204 и 1234). Середина G
этой диагонали, т. е. ортоцентр четырёхугольника PQRS
, совпадает с серединой диагонали UV
. Что и требовалось доказать.
Перейдём к решению задачи. Проведём диагонали AD
, BE
, CF
. Пусть J
, H
, T
соответственно — их середины. Тогда согласно нашему утверждению, середины отрезков JH
, HT
, JT
и есть центроиды четырёхугольников ABDE
, BCEF
, CDFA
. Итак, X
, Y
, Z
— середины отрезков JH
, HT
, JT
. соответственно.
Из равенств хорд AB=DE
и BC=EF
описанной окружности \Omega
следует равенство стягиваемых ими дуг, откуда AD=BE=CF
. Значит, точки J
, H
и T
равноудалены от центра O
окружности (см. задачу 1677). Тогда OX
— серединный перпендикуляр к JH
, а так как YZ\parallel JH
как средняя линия, то OX\perp YZ
. Аналогично, OY\perp XZ
. Следовательно, O
— ортоцентр треугольника XYZ
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Возможно также решение с помощью векторов (см. задачу 4516).