12810. В треугольнике ABC
проведена медиана AD
; DP
и DQ
— биссектрисы треугольников ABD
и ACD
соответственно; E
— точка пересечения AD
и PQ
. Найдите PQ
, если DE=2
.
Ответ. 4.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AP}{BP}=\frac{AD}{BD},~\frac{AQ}{QC}=\frac{AD}{CD}=\frac{AP}{BD}.
Значит, PQ\parallel BC
. Тогда E
— середина отрезка PQ
(см. задачу 2607).
Угол PDQ
между биссектрисами смежных углов равен 90^{\circ}
, поэтому DE
— медиана прямоугольного треугольника PDQ
, проведённая к его гипотенузе. Следовательно (см. задачу 1109),
PQ=2DE=4.