12844. В треугольник ABC
вписана окружность радиуса r
.
а) Найдите стороны треугольника с вершинами в точках касания, если углы треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
.
б) Докажите, что площадь этого треугольника равна \frac{pr^{2}}{2R}
, где p
— полупериметр треугольника ABC
, а R
— радиус описанной окружности.
Решение. Пусть окружность с центром I
касается сторон BC=a
, AC=b
и AB=c
треугольника ABC
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно, а \alpha
, \beta
и \gamma
— углы треугольника ABC
при вершинах соответственно A
, B
и C
.
а) Пусть M
— точка пересечения AI
и B_{1}C_{1}
. Тогда M
середина B_{1}C_{1}
и AI\perp B_{1}C_{1}
(см. задачу 1180). Из равнобедренного треугольника B_{1}IC_{1}
находим, что
B_{1}C_{1}=2IB_{1}\cos\angle IB_{1}M=2IB_{1}\cos\angle IAB_{1}=2r\cos\frac{\alpha}{2}.
Аналогично,
A_{1}C_{1}=r\cos\frac{\beta}{2},~A_{1}B_{1}=r\cos\frac{\gamma}{2}.
б) Поскольку \angle B_{1}A_{1}C_{1}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 1303). Аналогично для углов A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{1}C_{1}B_{1}
. Следовательно (см. задачу 4258),
S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=2r^{2}\sin\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)\sin\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)=
=2r^{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}=2r^{2}\cdot\frac{p}{4R}=\frac{pr^{2}}{4R}
(см. задачу 3225в).