12852. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, точки I_{a}
, I_{b}
и I_{c}
— центры вневписанных окружностей треугольника ABC
, касающихся сторон BC
, AC
и AB
соответственно. Докажите, что AI\cdot AI_{a}=AI_{b}\cdot AI_{c}
.
Указание. Точка I
— ортоцентр треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
(см. задачу 4769).
Решение. Точка I
— ортоцентр треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
(см. задачу 4769). Продолжим высоту I_{a}A
до пересечения с описанной окружностью треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
в точке A_{1}
. Тогда AA_{1}=IA
(см. задачу 4785). Следовательно (см. задачу 2627),
AI\cdot AI_{a}=AA_{1}\cdot AI_{a}=AI_{b}\cdot AI_{c}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 5.13, с. 47