12853. Точка I
— центр вписанной окружности радиуса r
треугольника ABC
, точка I_{a}
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны BC
, R
— радиус описанной окружности треугольника. Докажите, что AI\cdot II_{a}=4rR
.
Указание. Примените теорему Мансиона (см. задачу 57) и формулу Эйлера (см. задачу 126).
Решение. По теореме Мансиона (см. задачу 57) описанная окружность треугольника ABC
проходит через середину M
отрезка II_{A}
. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника. Тогда по формуле Эйлера (см. задачу 126) IO^{2}=R^{2}-2rR
, а по теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
AI\cdot II_{a}=AI\cdot2MI=2AI\cdot MI=2(R-IO)(R+IO)=
=2(R^{2}-IO^{2})=2\cdot2rR=4rR.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Можно также воспользоваться тем, что описанная окружность треугольника ABC
— это окружность девяти точек треугольника с вершинами в центрах вневписанных окружностей треугольника ABC
.