12853. Точка I
— центр вписанной окружности радиуса r
треугольника ABC
, точка I_{a}
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны BC
, R
— радиус описанной окружности треугольника. Докажите, что AI\cdot II_{a}=4rR
.
Указание. 1. (К первому способу.) Примените теорему Мансиона (см. задачу 57) и формулу Эйлера (см. задачу 126).
2. (Ко второму способу.) Примените теорему о трилистнике (см. задачу 788).
Решение. Первый способ. По теореме Мансиона (см. задачу 57) описанная окружность треугольника ABC
проходит через середину M
отрезка II_{a}
. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника. Тогда по формуле Эйлера (см. задачу 126) IO^{2}=R^{2}-2rR
, а по теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
AI\cdot II_{a}=AI\cdot2MI=2AI\cdot MI=2(R-IO)(R+IO)=
=2(R^{2}-IO^{2})=2\cdot2rR=4rR.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть M
— середина отрезка II_{a}
. По теореме о трилистнике (см. задачу 788) точка M
лежит на описанной окружности треугольника ABC
и MI=MI_{a}=MB=MC
. Пусть K
— точка касания вписанной окружности со стороной AB
. Из прямоугольного треугольника AKI
находим
AI=\frac{r}{\sin\frac{\angle A}{2}}.
А по теореме синусов для треугольника BMC
—
II_{a}=2MI=2MC=4R\sin\frac{\angle A}{2}.
Следовательно,
AI\cdot II_{a}=\frac{r}{\sin\frac{\angle A}{2}}\cdot4R\sin\frac{\angle A}{2}=4rR.
Примечание. Можно также воспользоваться тем, что описанная окружность треугольника ABC
— это окружность девяти точек треугольника с вершинами в центрах вневписанных окружностей треугольника ABC
.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 5.14, с. 48