12886. Точка M
симметрична относительно прямой AB
центру описанной окружности радиуса R
треугольника ABC
со сторонами BC=a
, AC=b
и AB=c
. Докажите, что
CM^{2}=R^{2}+a^{2}+b^{2}-c^{2}.
Решение. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
, C_{1}
— середина стороны AB
. Тогда (см. задачу 1257)
CH=2OC_{1}=OM,~CH\parallel OM.
Значит, CHMO
— параллелограмм. Сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадратов всех сторон (см. задачу 4011), т. е.
CM^{2}+OH^{2}=2CO^{2}+2CH^{2}.
При этом
OH^{2}=9R^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2}
(см. задачу 4145), а
CH=OM=2OC^{2}=2\sqrt{OB^{2}-OC_{1}^{2}}=2\sqrt{R^{2}-\frac{c^{2}}{4}}=\sqrt{4R^{2}-c^{2}}.
Следовательно,
CM^{2}=2CO^{2}+2CH^{2}-OH^{2}=2R^{2}+2(4R^{2}-c^{2})-(9R^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2})=
=R^{2}+a^{2}+b^{2}-c^{2}.
Что и требовалось доказать.