12899. Докажите, что сумма радиусов вписанной и описанной окружностей нетупоугольного треугольника не превосходит его наибольшей стороны.
Решение. Пусть r
и R
— радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами a
, b
и c
, противолежащими углам \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, причём c
— наибольшая сторона. Тогда \gamma
— наибольший угол (см. задачу 3499), поэтому нужно доказать, что R+r\leqslant c
, или (см. задачу 3238)
R+r=R(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)\leqslant2R\sin\gamma,
т. е.
\frac{1}{2}(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)\leqslant\sin\gamma.
Левая часть этого неравенства не превосходит \frac{3}{4}
(см. задачу 4157), а так как наибольший угол нетупоугольного треугольника удовлетворяет условию 60^{\circ}\leqslant\gamma\leqslant90^{\circ}
(см. задачу 1197), то правая часть не меньше \sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}
. Но \frac{\sqrt{3}}{2}\gt\frac{3}{4}
. Следовательно,
\frac{1}{2}(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)\leqslant\frac{3}{4}\lt\frac{\sqrt{3}}{2}\leqslant\sin\gamma.
Отсюда следует нужное неравенство.