12901. Вписанная окружность касается сторон треугольника ABC
в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
, а вневписанные окружности касаются этих сторон в в точках A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
. Докажите, что треугольники A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}
равновелики.
Решение. Пусть точки A_{1}
и A_{2}
лежат на стороне BC=a
, точки B_{1}
и B_{2}
— на стороне AC=b
, точки C_{1}
и C_{2}
— на стороне AB=c
, а p
и S
— полупериметр и площадь треугольника ABC
.
Тогда (см. задачи 219 и 4805)
BC_{2}=AC_{1}=AB_{1}=p-a,~CA_{2}=BA_{1}=BC_{1}=p-b,~AB_{2}=CB_{1}=CA_{1}=p-c.
Значит (см. задачу 3007),
S_{\triangle B_{1}AC_{1}}=\frac{AC_{1}}{AB}\cdot\frac{AB_{1}}{AC}S_{\triangle ABC}=\frac{p-a}{c}\cdot\frac{p-a}{b}S=\frac{(p-a)^{2}}{bc},
S_{\triangle B_{2}AC_{2}}=\frac{AC_{2}}{AB}\cdot\frac{AB_{2}}{AC}S_{\triangle ABC}=\frac{p-a}{c}\cdot\frac{p-b}{b}S=\frac{(p-a)(p-b)}{bc},
Аналогично,
S_{\triangle A_{1}BC_{1}}=\frac{(p-b)^{2}}{ac},~S_{\triangle A_{1}CB_{1}}=\frac{(p-c)^{2}}{ab},
S_{\triangle A_{2}BC_{2}}=\frac{(p-b)(p-c)}{bc},~S_{\triangle A_{1}CB_{1}}=\frac{(p-a)(p-c)}{ac}.
Поскольку
S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=S-S_{\triangle B_{1}AC_{1}}-S_{\triangle A_{1}BC_{1}}-S_{\triangle A_{1}CB_{1}}=
=S\left(1-\frac{(p-a)^{2}}{bc}-\frac{(p-b)^{2}}{ac}-\frac{(p-c)^{2}}{ab}\right)
и
S_{\triangle A_{2}B_{2}C_{2}}=S\left(1-\frac{(p-a)(p-b)}{bc}-\frac{(p-b)(p-c)}{bc}-\frac{(p-a)(p-c)}{ac}\right),
то достаточно доказать, что
\frac{(p-a)^{2}}{bc}+\frac{(p-b)^{2}}{ac}+\frac{(p-c)^{2}}{ab}=\frac{(p-a)(p-b)}{bc}+\frac{(p-b)(p-c)}{bc}+\frac{(p-a)(p-c)}{ac}.
Действительно,
\frac{(p-a)^{2}}{bc}+\frac{(p-b)^{2}}{ac}+\frac{(p-c)^{2}}{ab}=\frac{(p-a)(p-b)}{bc}+\frac{(p-b)(p-c)}{bc}+\frac{(p-a)(p-c)}{ac}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(ap^{2}-2a^{2}p+a^{3})+(bp^{2}-2b^{2}p+b^{3})+(cp^{2}-2c^{2}p+c^{3})=
=(ap^{2}-apc-abp+abc)+(bp^{2}-bcp-abp+abc)+(cp^{2}-acp-bcp+abc)~\Leftrightarrow
~\Leftrightarrow~a^{3}+b{3}+c^{3}-2p(a^{2}+b^{2}+c^{2})=3abc-2p(ab+ac+bc)~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~a^{3}+b^{3}+c^{2}-3abc=2p(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc)~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~a^{3}+b^{3}+c^{2}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc).
Легко проверить, что последнее равенство верно. Отсюда следует утверждение задачи.