12951. Докажите, что треугольник остроугольный тогда и только тогда, когда сумма расстояний от его вершин до ортоцентра была меньше, чем p+r
, где p
— полупериметр треугольника, а r
— радиус вписанной окружности.
Решение. Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника. Тогда треугольник остроугольный тогда и только тогда, когда выполняется неравенство p\gt2R+r
(см. задачу 12950). В то же время, для нетупоугольного треугольника верна формула Карно (см. задачу 3257):
d_{1}+d_{2}+d_{3}=r+R,
где d_{1}
, d_{2}
и d_{3}
— расстояния до сторон треугольника от центра описанной окружности. Для тупоугольного треугольника аналогичная формула имеет вид
d_{1}+d_{2}-d_{3}=r+R,
где d_{3}
— расстояние от центра описанной окружности до стороны, лежащей против тупого угла (см. примечание к задаче 3257).
Вернёмся к нашей задаче. Воспользуемся следующим свойством ортоцентра треугольника: расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до стороны, противолежащей этой вершине (см. задачу 1257), т. е.
AH=2d_{1},~BH=2d_{2},~CH=2d_{3}.
Необходимость. Пусть треугольник остроугольный. Тогда
AH+BH+CH=2(d_{1}+d_{2}+d_{3})=2r+2R\lt p+r~\Leftrightarrow~p\gt2R+r.
Что и требовалось доказать.
Достаточность. Пусть AH+BH+CH\lt p+r
. Докажем, что треугольник остроугольный. Предположим, что это не так.
Если треугольник тупоугольный, то p\lt2R+r
(см. задачу 12950). Тогда, если расстояние от центра описанной окружности до вершины, противолежащей тупому углу, равно d_{3}
, то
AH+BH+CH=2(d_{1}+d_{2}+d_{3})=2(d_{1}+d_{2}-d_{3})+4d_{3}=
=2(r+R)+4d_{3}=2R+r+r+4d_{3}\gt p+r.
Противоречие.
Если треугольник прямоугольный, то сумма AH+BH+CH
равна p+r
, так как если катеты равны a
и b
, а гипотенуза равна c
, то сумма расстояний от ортоцентра до вершин треугольника в этом случае равна сумме катетов, т. е. a+b
, и
p+r=\frac{a+b+c}{2}+\frac{a+b-c}{2}=a+b
(см. задачу 217). Следовательно, AH+BH+CH=p+r
. Тоже противоречие.
Следовательно, треугольник остроугольный.