13080. Дан круг с диаметром AB
. Требуется указать на этом диаметре точку C
, для которой сумма площадей кругов, построенных на отрезках AC
и BC
как на диаметрах, равна \frac{2}{3}
площади данного круга.
Опишите способ построения искомой точки с помощью циркуля и линейки.
Решение. Пусть AC=2x
и BC=2y
. Тогда радиусы кругов с диаметрами AC
и BC
равны x
и y
, радиус круга с диаметром AB
равен x+y
, а площади этих кругов равны \pi x^{2}
, \pi y^{2}
и \pi(x+y)^{2}
. По условию
\pi x^{2}+\pi y^{2}=\pi(x+y)^{2},~\mbox{или}~x^{2}+y^{2}=\frac{2}{3}(x+y)^{2}.
После очевидных упрощений получаем равенство
y^{2}-4xy+x^{2}=0,
откуда y=x(2\pm\sqrt{3})
.
Предположим, что x\lt y
. Тогда y=x(2+\sqrt{3})
. Значит,
AB=2(x+y)=2x+2x(2-\sqrt{3})=2x(3+\sqrt{3}),
откуда
AC=2x=\frac{AB}{3+\sqrt{3}}=AB\cdot\frac{3-\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{2}AB-AB\cdot\frac{\sqrt{3}}{6}.
Построение искомой точки C
возможно следующим способом. Строим равносторонний треугольник со стороной, равной отрезку AB
(см. задачу 2402). Затем строим его высоту h=\frac{\sqrt{3}}{2}AB
(см. задачу 1963). На луче AB
отложим отрезок BK
, равный \frac{1}{2}AB
, а затем на луче KA
— отрезок, равный третьей части высоты h
(см. задачу 2604). Тогда его конец, отличный от K
, есть искомая точка C
.
Аналогично для x\lt y
.
Источник: Вступительный экзамен на филологический факультет МГУ. — 1967, № 3а, вариант 1
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — № 3а, с. 78, вариант 1