13206. Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника с основанием 1, у которого биссектриса, медиана и заключённый между ними отрезок противоположной стороны также образуют равнобедренный треугольник.
Ответ. 4.
Решение. Биссектриса и медиана, проведённые к основанию равнобедренного треугольника совпадают, поэтому равнобедренным может быть только треугольник, у которого стороны — это медиана CM
и биссектриса CN
, проведённые к боковой стороне AB
исходного равнобедренного треугольника ABC
с основанием BC
. Обозначим AB=BC=x
.
Докажем, что CM
и CN
— боковые стороны равнобедренного треугольника CNM
.
Ясно, что x\ne1
, так как в противном случае треугольник ABC
равносторонний, и тогда точки M
и N
совпадают.
Пусть x\lt1
. Тогда из свойства биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) получаем, что BM\lt BN
. При этом \angle CAB\gt\angle ACB
, так как в треугольнике ABC
против большей стороны BC
(BC=1\gt x=AC
) лежит больший угол. Значит, по теореме о внешнем угле треугольника, учитывая, что \angle ACB\lt\angle BAC
, получаем
\angle BNC=\angle BAC+\angle ACN=\angle BAC+\frac{1}{2}\angle ACB=
=\frac{1}{2}\angle BAC+\left(\frac{1}{2}\angle BAC+\frac{1}{2}\angle ACB\right)\gt\frac{1}{2}\angle BAC+\angle ACB=90^{\circ}.
Следовательно, в равнобедренном треугольнике CNM
угол BNC
— это угол при вершине, противолежащей основанию CM
. Аналогично, если x\gt1
, то угол BNC
острый, а тогда угол CNM
тоже тупой (см. задачу 3527). Что и требовалось доказать.
Итак, из доказанного следует равенство
BM-BN=MN=CN.
Выразив через x
отрезки BM
, BN
и CN
получим уравнение относительно x
.
Из равенства \frac{BN}{NA}=\frac{CB}{CA}=\frac{1}{x}
(см. задачу 1505) получим
\frac{AB}{BN}=\frac{x}{\frac{x}{x+1}}=1+x~\Rightarrow~BN=\frac{x}{x+1}.
Пусть A'
и N'
— проекции точек соответственно A
и N
на сторону BC
. Тогда из подобия прямоугольных треугольников BN'N
и BA'A
получаем
\frac{BN'}{\frac{1}{2}BC}=\frac{BN}{AB}=\frac{1}{1+x},
откуда
BN'=\frac{1}{2(x+1)}~\Rightarrow~CN'=BC-BN'=1-\frac{1}{2(x+1)}=\frac{2x+1}{2(x+1)}.
Кроме того,
NN'=AA'\cdot\frac{BN}{AB}=\sqrt{AB^{2}-BA'^{2}}\cdot\frac{1}{x+1}=\sqrt{x^{2}-\frac{1}{4}}\cdot\frac{1}{x+1}=\frac{\sqrt{4x^{2}-1}}{2(x+1)},
значит,
CN=\sqrt{NN'^{2}-CN'^{2}}=\sqrt{\frac{4x^{2}-1}{4(x+1)^{2}}-\frac{(2x+1)^{2}}{4(x+1)^{2}}},
а так как BM-BN=CN
, то
\frac{x}{2}-\frac{x}{x+1}=\sqrt{\frac{4x^{2}-1}{4(x+1)^{2}}-\frac{(2x+1)^{2}}{4(x+1)^{2}}},~\frac{x(x-1)}{2(x+1)}=\frac{\sqrt{8x^{2}+4x}}{2(x+1)},
x(x-1)=\sqrt{8x^{2}+4x},~x^{2}(x-1)^{2}=8x^{2}+4x,~x(x-1)^{2}=8x+4,
x^{3}-2x^{2}-7x-4=0,~(x-4)(x+1)^{2}=0.
Условию задачи удовлетворяет единственный корень этого уравнения x=4
.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2012, заключительный этап, задача 3, 10 класс