13405. Равнобедренная трапеция ABCD
, в которой основание AD
вдвое больше боковой стороны AB
, вписана в окружность \omega
. Точки E
и F
выбраны на окружности \omega
так, что AC\parallel DE
и BD\parallel AF
. Отрезок BE
пересекает отрезки AC
и AF
в точках X
и Y
соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников BCX
и EFY
касаются.
Решение. Четырёхугольники ABDF
и ACDE
вписаны в окружность и имеют пару параллельных сторон, следовательно, это равнобедренные трапеции или прямоугольники (см. задачу 5003), и
DF=AB=CD=AE.
Пусть M
— середина отрезка AD
, \smile AB=\alpha
, \smile BC=\beta
. Докажем, что окружности из условия касаются в точке M
, а прямая AD
— их общая касательная.
Треугольники BAM
и CDM
— равные и равнобедренные, и AD\parallel BC
, поэтому
\angle AMB=\angle MBC=\angle BCM=\angle CMD.
Следовательно, описанная окружность треугольника BMC
касается прямой AD
(см. задачу 144). Кроме того (см. задачу 26),
\angle BXC=\frac{1}{2}(\smile BC+\smile AE)=\frac{1}{2}(\alpha+\beta),
\angle BMC=180^{\circ}-\angle AMB-\angle CMD=180^{\circ}-\angle AMB-\angle ABM=
=\angle BAM=\angle BAD=\frac{1}{2}\smile BCD=\frac{1}{2}(\alpha+\beta)=\angle BXC.
Значит, точка X
лежит на описанной окружности треугольника BMC
.
Итак, доказано, что описанная окружность треугольника BCX
касается прямой AD
в точке M
. Аналогично, описанная окружность треугольника EFY
касается прямой AD
в точке M
. Следовательно, обе эти окружности касаются в точке M
.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2021, второй тур, задача 5, 9 класс