13433. Продолжения боковых сторон AB
и CD
трапеции ABCD
(AD\gt BC
) пересекаются в точке P
. На отрезке AD
нашлась такая точка Q
, что BQ=CQ
. Докажите, что линия центров окружностей, описанных около треугольников AQC
и BQD
, перпендикулярна прямой PQ
.
Решение. Треугольник BQC
равнобедренный, а BC\parallel AD
, поэтому
\angle AQB=\angle CBQ=\angle BCQ=DQC.
Пусть описанная окружность треугольника AQC
вторично пересекает прямую AP
в точке X
, а описанная окружность треугольника BQD
вторично пересекает прямую DP
в точке Y
. Четырёхугольники AXCQ
и DYBQ
вписанные, поэтому
\angle AXC=180^{\circ}-\angle AQC=\angle CQD=\angle BQA=
=180^{\circ}-\angle BQD=\angle AXC=\angle BYD.
Следовательно, точки B
, C
, X
, Y
, лежат на одной окружности (см. задачу 12), а так как
\angle XAD=\angle XBC=180^{\circ}-\angle XYC=180^{\circ}-\angle XYD,
точки A
, D
, X
, Y
, тоже лежат на одной окружности. Тогда PX\cdot PA=PY\cdot PD
(см. задачу 2636), т. е. степени точки P
относительно описанных окружностей треугольников AQC
и BQD
равны. Значит, точка P
лежит на радикальной оси этих окружностей. Общая точка Q
этих окружностей тоже лежит на их радикальной оси, поэтому прямая PQ
— их радикальная ось. Следовательно, линия центров этих окружностей перпендикулярна прямой PQ
(см. задачу 6391). Что и требовалось доказать.
Автор: Бродский Д. В.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2022, XVIII, финал, второй день, задача 6, 9 класс