13461. Точка H
— ортоцентр непрямоугольного треугольника ABC
, точки O
, A'
, B'
и C'
— центры описанных окружностей треугольников ABC
, HBC
, HAC
и HAB
соответственно, а \overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}
. Докажите, что треугольник ABC
равносторонний.
Решение. Все три окружности, о которых говорится в условии, равны (см. задачу 5046), поэтому BOCA'
, OAC'B
и OCB'A
— ромбы.
Пусть M
— середина стороны BC
. Тогда (см. задачу 1257)
\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{OA'}-\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA'}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}.
Аналогично,
\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB},~\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}.
Сложив эти три равенства, получим
\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.
Значит, (см. задачу 4509) центр O
описанной окружности треугольника ABC
совпадает с точкой пересечения медиан этого треугольника. Следовательно, треугольник ABC
равносторонний (см. задачу 1335).