13462. Высоты AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке H
. Прямые AA_{1}
и B_{1}C_{1}
пересекаются в точке X
, а прямая, проходящая через точку X
перпендикулярно AC
, пересекает AB
в точке Y
. Докажите, что прямая YA_{1}
проходит через середину отрезка BH
.
Решение. При инверсии с центром A
, переводящей точку A_{1}
в H
, прямая BC
переходит в окружность, проходящую через точку A
(см. задачу 6110), т. е. в окружность с диаметром AH
. Точки B_{1}
и C_{1}
лежат на этой окружности (см. задачу 1689), поэтому точки B
и C
при рассматриваемой инверсии переходят в B_{1}
и C_{1}
соответственно. Тогда описанная окружность \Gamma
треугольника ABC
переходит в прямую B_{1}C_{1}
, а точка H_{1}
пересечения луча AA_{1}
с окружностью \Gamma
— в точку X
пересечения луча AA_{1}
с отрезком B_{1}C_{1}
. Значит, AH_{1}\cdot AX=AA_{1}\cdot AH
, или \frac{AX}{AH}=\frac{AA_{1}}{AH_{1}}
, а так как BH\parallel XY
, то
\frac{AY}{AB}=\frac{AX}{AH}=\frac{AA_{1}}{AH_{1}}.
Следовательно, YA_{1}\parallel BH_{1}
, а так как A_{1}
— середина отрезка HH_{1}
(см. задачу 4785), то по теореме Фалеса прямая A_{1}Y
пересекает отрезок BH
в его середине. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2019, № 9, задача 4440, с. 533