13478. Треугольник T_{1}
составлен из медиан прямоугольного треугольника T
. Пусть R
и R_{1}
— радиусы описанных окружностей треугольников T
и T_{1}
соответственно. Докажите, что R_{1}\geqslant\frac{5}{6}R
.
Решение. Известно что из медиан любого треугольника можно составить новый треугольник, причём площадь нового равна \frac{3}{4}
площади исходного (см. задачу 3033).
Пусть a
, b
, c
(a^{2}+b^{2}=c^{2}
) — стороны треугольника T
, m_{a}
, m_{b}
, m_{c}
— медианы треугольника T
(т. е. стороны треугольника T_{1}
), проведённые к сторонам a
, b
И c
соответственно, S
и S_{1}
— площади этих треугольников. Тогда по формуле для квадрата медианы треугольника (см. задачу 4014) получаем
4m_{a}^{2}=2b^{2}+2c^{2}-a^{2}=2b^{2}+2(a^{2}+b^{2})-a^{2}=4b^{2}+a^{2},
4m_{b}^{2}=4a^{2}+b^{2},~m_{c}^{2}=a^{2}+b^{2}.
Тогда (см. задачу 4259)
R_{1}=\frac{m_{a}m_{b}m_{c}}{4S_{1}}=\frac{m_{a}m_{b}m_{c}}{4\cdot\frac{3}{4}S}=\frac{m_{a}m_{b}m_{c}}{3S}=\frac{m_{a}m_{b}m_{c}}{\frac{3}{2}ab}.
Значит,
R_{1}\geqslant\frac{5}{6}R~\Leftrightarrow~\frac{m_{a}m_{b}m_{c}}{\frac{3}{2}ab}\geqslant\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{2}c~\Leftrightarrow~8m_{a}m_{b}m_{c}\geqslant5abc~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(4b^{2}+a^{2})(4a^{2}+b^{2})(a^{2}+b_{2})\geqslant25a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(4b^{2}+a^{2})(4a^{2}+b^{2})\geqslant25a^{2}b^{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(4b^{2}+a^{2})(4a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2})\geqslant25a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(4b^{2}+a^{2})(4a^{2}+b^{2})\geqslant25a^{2}b^{2}~\Leftrightarrow~4(a^{2}-b^{2})^{2}\geqslant0.
Отсюда следует доказываемое неравенство. Оно обращается в равенство тогда и только тогда, когда a=b
, т. е. когда треугольник T
прямоугольный и равнобедренный.