13503. Прямая, параллельна стороне AB
треугольника ABC
, пересекает стороны AC
и BC
в их внутренних точках M
и P
соответственно, D
— точка пересечения отрезков AP
и BM
. Докажите, что прямая, проходящая через ортоцентры треугольников ADM
и BDP
, перпендикулярна прямой CD
.
Решение. Первый способ. Обозначим \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b}
, \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{d}
.
Точка P
лежит между C
и B
, поэтому \overrightarrow{CP}=k\overrightarrow{CB}=k\overrightarrow{b}
для некоторого k
из промежутка (0;1)
, а так как PM\parallel AB
, то \overrightarrow{CM}=k\overrightarrow{CA}=k\overrightarrow{a}
.
Поскольку точка D
лежит между A
и P
, то существует \lambda
из промежутка (0;1)
, для которого
\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{AP}=\lambda(\overrightarrow{CP}-\overrightarrow{CA})=\lambda(-\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}).
Значит,
\overrightarrow{d}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}+\lambda(-\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b})=(1-\lambda)\overrightarrow{a}+\lambda k\overrightarrow{b}.
Аналогично получим, что существует \mu
из промежутка (0;1)
, для которого
\overrightarrow{d}=(1-\mu)\overrightarrow{b}+\mu k\overrightarrow{a}.
Тогда
(1-\lambda)\overrightarrow{a}+\lambda k\overrightarrow{b}=(1-\mu)\overrightarrow{b}+\mu k\overrightarrow{a}~\Leftrightarrow~\syst{1-\lambda=\mu k\\1-\mu=\lambda k,\\}
откуда \lambda=\mu=\frac{1}{k+1}
. Следовательно,
\overrightarrow{d}=(1-\lambda)\overrightarrow{a}+\lambda k\overrightarrow{b}=\left(1-\frac{1}{k+1}\right)\overrightarrow{a}+\frac{k}{k+1}\overrightarrow{b}=\frac{k}{k+1}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}).
Пусть X
— ортоцентр треугольника ADM
. Обозначим \overrightarrow{CX}=\overrightarrow{x}
. Поскольку AX\perp BM
и MX\perp AP
, то \overrightarrow{AX}\cdot\overrightarrow{BM}=0
и \overrightarrow{MX}\cdot\overrightarrow{AP}=0
, а так как
\overrightarrow{AX}=\overrightarrow{CX}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a},~\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CM}=-\overrightarrow{d}+k\overrightarrow{a},
\overrightarrow{MX}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CX}=-k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{x},\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CP}=-\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}
то
(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a})(\overrightarrow{b}-k\overrightarrow{a})=0,~\mbox{или}~\overrightarrow{b}\overrightarrow{x}-k\overrightarrow{a}\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+k\overrightarrow{a}^{2},
(\overrightarrow{x}-k\overrightarrow{a})(\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b})=0,~\mbox{или}~\overrightarrow{a}\overrightarrow{x}-k\overrightarrow{b}\overrightarrow{x}+k^{2}\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-k\overrightarrow{a}^{2}.
Сложив эти два равенства, получим
(1-k)\overrightarrow{x}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+(k^{2}-1)\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0,
а так как k\ne1
, то
\overrightarrow{x}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+(k+1)\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0
Аналогично, если Y
— ортоцентр треугольника BDP
, а \overrightarrow{y}=\overrightarrow{CY}
, то
\overrightarrow{y}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+(k+1)\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0.
Значит, (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=0
.
Заметим, что вектор \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}
коллинеарен вектору \overrightarrow{CN}
(см. задачу 4500), где N
— середина отрезка AB
, а из замечательного свойства трапеции (см. задачу 1513) следует, что прямая CD
проходит через точку N
. Следовательно, CM\perp XY
. Отсюда получаем утверждение задачи.
Второй способ. Из замечательного свойства трапеции (см. задачу 1513) следует, что прямая CD
проходит через середины отрезков MP
и AB
. Значит, эта прямая проходит через точки пересечения медиан треугольников ADB
и PMD
. Следовательно, по теореме Даниэльсона (см. задачу 6104) эта прямая перпендикулярна прямой, проходящей через ортоцентры треугольников ADM
и BDP
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1992, № 1, задача 3, с. 11
Источник: Болгарские математические олимпиады. — 1990