13524. Вне треугольника ABC
построены равносторонние треугольники A'BC
, B'CA
, C'AB
. Около треугольника A'B'C'
описана окружность \Omega
, и A''
, B''
, C''
— точки её пересечения с лучами A'A
, B'B
, CC'
соответственно. Докажите, что AA''+BB''+CC''=AA'
. (Известно, что прямые AA'
, BB'
и CC'
пересекаются в одной точке F
под углом 60^{\circ}
и AA'=BB'=CC'
, см. задачу 6703.)
Решение. Из вписанных четырёхугольников AFBC'
, BFCA'
и CFAB'
получаем
FC'=FA+FB,~FA'=FB+FC,~FB'=FC+FA
(см. задачу 17). Тогда
FA+FB+FC=FA+FA'=FA+FA'=AA'.
При этом
FA'+FB'+FC'=FA''+FB''+FC''
(см. задачу 6889).
Кроме того,
FA'+FB'+FC'=(FA+FB)+(FB+FC)+(FC+FA)=
=2(FA+FB+FC),
а так как
FA''+FB''+FC''=FA+FB+FC+AA''+BB''+CC'',
то
AA''+BB''+CC''=FA''+FB''+FC''-(FA+FB+FC)=
=FA'+FB'+FC'-AA'=2(FA+FB+FC)-(FA+FB+FC)=
=FA+FB+FC=AA'.
Что и требовалось доказать.