13570. Дан остроугольный треугольник ABC
, в котором AB\lt AC
, AD
— высота, O
— центр описанной окружности, а M
и N
— середины сторон BC
и AB
соответственно. Прямая AO
пересекает прямую MN
в точке X
. Докажите, что DX\parallel OC
.
Решение. Первый способ. Обозначим \angle ABC=\beta
. Тогда
\angle AOC=2\beta,~\angle XOC=180^{\circ}-2\beta.
Из равнобедренного треугольника AOC
получаем, что
\angle CAX=\angle CAO=90^{\circ}-\beta,
а так как по теореме о средней линии треугольника MN\parallel AC
, то
\angle NXA=\angle CAO=90^{\circ}-\beta.
Поскольку DN
— медиана прямоугольного треугольника ADB
, проведённая из вершины прямого угла, то DN=NB=NA
(см. задачу 1109), поэтому
\angle NDA=\angle NAD=90^{\circ}-\beta=\angle NXA.
Значит, четырёхугольник ANDX
вписанный. Тогда
\angle AXD=180^{\circ}-\angle AND=\angle BND=180^{\circ}-2\beta=\angle XOC.
Следовательно, DX\parallel OC
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Обозначим \angle CAO=\angle ACO=\varphi
. Тогда (см. задачи 1109 и 20)
\angle ADN=\angle BAD=\angle CAO=\varphi,
а так как NX\parallel AC
, то
\angle AXN=\angle CAX=\angle CAO=\varphi=\angle ADN.
Значит (см. задачу 12), точки A
, N
, D
и X
лежат на одной окружности, поэтому
\angle DXN=\angle DAN=\varphi~\Rightarrow~\angle AXD=2\varphi=\angle COX
(так как COX
— внешний угол равнобедренного треугольника AOC
). Следовательно, DX\parallel OC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2019, № 7, задача 4415, с. 433