13570. Дан остроугольный треугольник ABC
, в котором AB\lt AC
, AD
— высота, O
— центр описанной окружности, а M
и N
— середины сторон BC
и AB
соответственно. Прямая AO
пересекает прямую MN
в точке X
. Докажите, что DX\parallel OC
.
Решение. Обозначим \angle ABC=\beta
. Тогда
\angle AOC=2\beta,~\angle XOC=180^{\circ}-2\beta.
Из равнобедренного треугольника AOC
получаем, что
\angle CAX=\angle CAO=90^{\circ}-\beta,
а так как по теореме о средней линии треугольника MN\parallel AC
, то
\angle NXA=\angle CAO=90^{\circ}-\beta.
Поскольку DN
— медиана прямоугольного треугольника ADB
, проведённая из вершины прямого угла, то DN=NB=NA
(см. задачу 1109), поэтому
\angle NDA=\angle NAD=90^{\circ}-\beta=\angle NXA.
Значит, четырёхугольник ANDX
вписанный. Тогда
\angle AXD=180^{\circ}-\angle AND=\angle BND=180^{\circ}-2\beta=\angle XOC.
Следовательно, DX\parallel OC
. Что и требовалось доказать.