13645. Точки D
, E
и F
— середины сторон соответственно BC
, CA
и AB
треугольника ABC
. Вписанная окружность треугольника AEF
касается отрезка EF
в точке X
, вписанная окружность треугольника BFD
касается отрезка DF
в точке Y
, а вписанная окружность треугольника CDE
касается отрезка DE
в точке Z
. Докажите, что прямые DX
, EY
и FZ
пересекаются в одной точке.
Решение. Докажем, что прямые DX
, EY
и FZ
пересекаются в центре вписанной окружности треугольника ABC
.
Обозначим через p
полупериметр треугольника ABC
. Если треугольник равнобедренный, то утверждение очевидно из-за симметрии. Предположим, что стороны треугольника попарно различны и AB\gt AC
.
Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается стороны BC
в точке L
, а AH
— биссектриса треугольника ABC
. При гомотетии с центром A
и коэффициентом 2 вписанная окружность треугольника AFE
переходит в вписанную окружность треугольника ABC
, а точка X
— в точку L
. Значит, точки A
, X
и L
лежат на одной прямой, а AX=XL
.
Поскольку
BL=p-AC,~CL=p-AB
(см. задачу 219), то
DL=DC-CL=\frac{1}{2}BC-(p-AB)=
=\frac{1}{2}BC-\frac{1}{2}(AC+BC-AB)=\frac{1}{2}(AB-AC),
а так как
BH-HC=(BD+DH)-(CD-DH)=2DH,
то DH=\frac{1}{2}(BH-HC)
.
Пусть прямые DX
и AH
пересекаются в точке P
. По теореме Менелая для треугольника AHL
и прямой DX
, учитывая, что
AX=LX~\mbox{и}~\frac{LD}{DH}=\frac{\frac{1}{2}(AB-AC)}{\frac{1}{2}(BH-HC)}=\frac{AB-AC}{BH-HC},
получаем
1=\left|\frac{HP}{PA}\cdot\frac{AX}{XL}\cdot\frac{LD}{DH}\right|=\left|\frac{HP}{PA}\cdot\frac{AX}{XL}\cdot\frac{LD}{DH}\right|=\left|\frac{HP}{PA}\cdot\frac{LD}{DH}\right|=\left|\frac{HP}{PA}\cdot\frac{AB-AC}{BH-HC}\right|,
откуда
\frac{HP}{PA}=\frac{BH-HC}{AB-AC}=\frac{BH}{AB}\cdot\frac{1-\frac{HC}{BH}}{1-\frac{AC}{AB}}=\frac{BH}{AB}
(\frac{HC}{BH}=\frac{AC}{AB}
по свойству биссектрисы треугольника, см. задачу 1509). Значит, луч BP
— биссектриса угла ABC
(см. задачу 1645). Следовательно, P
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, т. е. центр его вписанной окружности. Аналогично, прямые EY
и FZ
тоже проходят через центр вписанной окружности треугольника ABC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2000, № 4, задача 2441 (1999, с. 239), с. 246