13683. Точка O
— центр параллелограмма ABCD
(\angle AOB\gt90^{\circ}
). На лучах OA
и OB
отмечены точки A_{1}
и B_{1}
соответственно, причём A_{1}B_{1}\parallel AB
и \angle A_{1}B_{1}C=\frac{1}{2}\angle ABC
. Докажите, что A_{1}D\perp B_{1}C
.
Решение. Пусть прямые A_{1}D
и B_{1}C
пересекаются в точке P
. Из параллельности DC\parallel AB\parallel A_{1}B_{1}
получаем \frac{PD}{DA_{1}}=\frac{PC}{CB_{1}}
.
Пусть M
и N
— точки пересечения прямой PO
с отрезками A_{1}B_{1}
и DC
соответственно. По теореме Чевы (см. задачу 1621)
\frac{A_{1}M}{MB_{1}}\cdot\frac{B_{1}C}{CP}\cdot\frac{PD}{DA_{1}}=1,
а так как \frac{PD}{DA_{1}}=\frac{PC}{CB_{1}}
, то \frac{A_{1}M}{MB_{1}}=1
, т. е. A_{1}M=MB_{1}
. Тогда DN=NC
(см. задачу 2607).
Отрезок NO
— средняя линия треугольника BCD
, поэтому NO\parallel BC
. Тогда PM\parallel BC
, а так как A_{1}B_{1}\parallel AB
, то
\angle A_{1}MP=\angle ABC=2\angle A_{1}B_{1}C=2\angle A_{1}B_{1}P.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle MPB_{1}=\angle A_{1}MP-\angle A_{1}B_{1}P=2\angle A_{1}B_{1}P-\angle A_{1}B_{1}P=\angle MB_{1}P.
Значит, треугольник MPB_{1}
равнобедренный, PM=MB_{1}
. Таким образом, A_{1}M=MB_{1}=MP
, т. е. медиана PM
треугольника A_{1}PB_{1}
равна половине стороны A_{1}B_{1}
. Следовательно (см. задачу 1188), \angle A_{1}PB_{1}=90^{\circ}
, т. е. A_{1}D\perp B_{1}C
. Что и требовалось доказать.