13693. Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника со сторонами a
, b
и c
и противолежащими углами \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Докажите, что
a\sin\alpha+b\sin\beta+c\sin\gamma\geqslant9r.
Решение. Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника. Тогда по теореме синусов
\sin\alpha=\frac{a}{2R},~\sin\beta=\frac{b}{2R},~\sin\gamma=\frac{c}{2R}.
Значит, достаточно доказать неравенство
9r\leqslant\frac{a^{2}}{2R}+\frac{b^{2}}{2R}+\frac{c^{2}}{2R},~\mbox{или}~18Rr\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}.
Пусть S
— площадь треугольника. Тогда (см. задачи 4259 и 452)
\frac{abc}{4R}=S=\frac{a+b+c}{2}\cdot r,
откуда
Rr=\frac{abc}{2(a+b+c)}.
Значит, задача сводится к доказательству неравенства
\frac{9abc}{a+b+c}\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2},~\mbox{или}~9abc\leqslant(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c).
Перемножив два очевидных неравенства (см. задачу 3399)
\sqrt[{3}]{{a^{2}b^{2}c^{2}}}\leqslant\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}~\mbox{и}~\sqrt[{3}]{{abc}}\leqslant\frac{a+b+c}{3},
получим
abc\leqslant\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)}{9},~\mbox{или}~9abc\leqslant(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c).
Отсюда следует требуемое неравенство.
Заметим, что равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b=c
, т. е. для равностороннего треугольника.