1374. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и точке, в которой её касается вписанная окружность.
Указание. Докажите, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков, на которые делит гипотенузу точка касания с вписанной окружностью.
Решение. Первый способ. Пусть
AB
— данная гипотенуза. Построим на отрезке
AB
как на диаметре дугу, вмещающую угол
135^{\circ}
(см. задачу 2889). Из данной на отрезке
AB
точки
M
восставим перпендикуляр к
AB
так, чтобы этот перпендикуляр и построенная дуга лежали по одну сторону от прямой
AB
. С центром в точке
O
пересечения построенных дуги и перпендикуляра проведём окружность радиусом
OM
, затем через точки
A
и
B
проведём касательные к этой окружности, отличные от
AB
(см. задачу 1738). Докажем, что точка
C
пересечения этих касательных есть вершина прямого угла искомого треугольника.
Действительно,
BO
и
AO
— биссектрисы углов
ABC
и
BAC
, поэтому
\angle ABC+\angle BAC=2\angle OBA+2\angle OAB=2(\angle OBA+\angle OAB)=

=2(180^{\circ}-\angle AOB)=2(180^{\circ}-135^{\circ})=90^{\circ}.

Следовательно,
\angle ACB=180^{\circ}-(\angle ABC+\angle BAC)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.

Что и требовалось доказать.
Задача имеет единственное решение для любого данного отрезка и любой данной внутри него точки.
Второй способ. Докажем сначала, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков гипотенузы, на которые делит гипотенузу точка касания с вписанной окружностью треугольника.
Пусть
x
и
y
— указанные отрезки,
r
— радиус вписанной окружности,
p
— полупериметр треугольника,
S
— его площадь. Тогда
p=x+y+r,~S=pr=(x+y+r)r.

С другой стороны, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, поэтому
S=\frac{(x+r)(y+r)}{2}=\frac{xy+xr+yr+r^{2}}{2}=

=\frac{xy}{2}+\frac{(x+y+r)r}{2}=\frac{xy}{2}+\frac{S}{2},

откуда находим, что
S=xy
.
Используя доказанное утверждение, выразим высоту
h
прямоугольного треугольника, опущенную на гипотенузу, через отрезки
x
и
y
, на которые данная точка делит гипотенузу:
h=\frac{2S}{x+y}=\frac{2xy}{x+y}.

Построим отрезок
h
(см. задачу 5327), затем проведём на расстоянии
h
от данной гипотенузы прямую, параллельную гипотенузе. Пересечение этой прямой с окружностью, построенной на данной гипотенузе как на диаметре, даёт вершину прямого угла искомого прямоугольного треугольника.
Источник: Куланин Е. Д., Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах: Экспериментальное учебное пособие для 8—10 кл. школ физико-математического направления. — М.: НИИ школ, 1990. — № 24, с. 32
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2000, № 1, задача 2415 (1999, с. 110), с. 62