1374. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и точке, в которой её касается вписанная окружность.
Указание. Докажите, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков, на которые делит гипотенузу точка касания с вписанной окружностью.
Решение. Первый способ. Пусть AB
— данная гипотенуза. Построим на отрезке AB
как на диаметре дугу, вмещающую угол 135^{\circ}
(см. задачу 2889). Из данной на отрезке AB
точки M
восставим перпендикуляр к AB
так, чтобы этот перпендикуляр и построенная дуга лежали по одну сторону от прямой AB
. С центром в точке O
пересечения построенных дуги и перпендикуляра проведём окружность радиусом OM
, затем через точки A
и B
проведём касательные к этой окружности, отличные от AB
(см. задачу 1738). Докажем, что точка C
пересечения этих касательных есть вершина прямого угла искомого треугольника.
Действительно, BO
и AO
— биссектрисы углов ABC
и BAC
, поэтому
\angle ABC+\angle BAC=2\angle OBA+2\angle OAB=2(\angle OBA+\angle OAB)=
=2(180^{\circ}-\angle AOB)=2(180^{\circ}-135^{\circ})=90^{\circ}.
Следовательно,
\angle ACB=180^{\circ}-(\angle ABC+\angle BAC)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Задача имеет единственное решение для любого данного отрезка и любой данной внутри него точки.
Второй способ. Докажем сначала, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков гипотенузы, на которые делит гипотенузу точка касания с вписанной окружностью треугольника.
Пусть x
и y
— указанные отрезки, r
— радиус вписанной окружности, p
— полупериметр треугольника, S
— его площадь. Тогда
p=x+y+r,~S=pr=(x+y+r)r.
С другой стороны, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, поэтому
S=\frac{(x+r)(y+r)}{2}=\frac{xy+xr+yr+r^{2}}{2}=
=\frac{xy}{2}+\frac{(x+y+r)r}{2}=\frac{xy}{2}+\frac{S}{2},
откуда находим, что S=xy
.
Используя доказанное утверждение, выразим высоту h
прямоугольного треугольника, опущенную на гипотенузу, через отрезки x
и y
, на которые данная точка делит гипотенузу:
h=\frac{2S}{x+y}=\frac{2xy}{x+y}.
Построим отрезок h
(см. задачу 5327), затем проведём на расстоянии h
от данной гипотенузы прямую, параллельную гипотенузе. Пересечение этой прямой с окружностью, построенной на данной гипотенузе как на диаметре, даёт вершину прямого угла искомого прямоугольного треугольника.