5327. Даны отрезки a
, b
и c
. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок x
, если:
а) x=a\sqrt{3}
;
б) x=\frac{a\sqrt{2}}{2}
;
в) x=\sqrt{a^{2}-bc}
;
г) x=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}
;
д) x=\frac{2ab}{a+b}
;
е) x=\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}
.
Решение. а) Построим прямоугольный треугольник по катету, равному a
, и гипотенузе, равной 2a
. Тогда второй катет будет равен a\sqrt{3}
.
б) Построим равнобедренный прямоугольный треугольник по двум катетам, равным a
. Половина гипотенузы этого треугольника равна \frac{a\sqrt{2}}{2}
.
в) Заметим, что \sqrt{a^{2}-bc}=\sqrt{a\left(a-\frac{bc}{a}\right)}
. Отсюда вытекает следующее построение. По данным отрезкам a
, b
и c
строим отрезок y=\frac{bc}{a}
(см. задачу 2608), затем по отрезкам a
и y
строим отрезок t=a-y
, а затем — отрезок \sqrt{at}
(см. задачу 1986). Задача имеет решение, и притом единственное, если a^{2}-bc\gt0
.
г) Заметим, что
\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sqrt{(\sqrt{a^{2}+b^{2}})^{2}+c^{2}}.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим отрезок y=\sqrt{a^{2}+b^{2}}
(см. задачу 1966), а затем отрезок x=\sqrt{y^{2}+c^{2}}
.
д) См. задачу 1512 или 4614.
е) Строим отрезок y=\sqrt{a^{2}+b^{2}}
(см. задачу 1966), а затем отрезок x=\frac{a\cdot a}{y}
(см. задачу 2608).
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 100, с. 21