13782. Четырёхугольник ABCD
со сторонами AB=a
, BC=b
, CD=c
, DA=d
и площадью S
вписан в окружность радиуса R
. Докажите, что:
а) R^{2}=\frac{(ad+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{16S^{2}}
;
б) R\geqslant\frac{(abcd)^{\frac{3}{4}}}{S\sqrt{2}}
, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда ABCD
— квадрат.
Решение. а) Обозначим AC=t
, BD=u
. Тогда (см. задачу 4259)
4RS_{\triangle ABC}=abt,~4RS_{\triangle ADC}=cdt,
поэтому
4RS=4R(S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC})=(ab+cd)t.
Аналогично,
4RS=(ad+bc)u.
Тогда
16R^{2}S^{2}=(ab+cd)tu(ad+bc).
По теореме Птолемея (см. задачу 130)
tu=ac+bd,
поэтому
16R^{2}S^{2}=(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc).
Следовательно,
R^{2}=\frac{(ad+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{16S^{2}}.
Что и требовалось доказать.
б) Перемножив неравенства
ab+cd\geqslant2\sqrt{abcd},~ac+bd\geqslant2\sqrt{abcd},~ad+bc\geqslant2\sqrt{abcd}
(см. задачу 3399), получим, что
(ad+cd)(ac+bd)(ad+bc)\geqslant8(abcd)^{\frac{3}{2}}.
Значит,
R^{2}=\frac{(ad+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{16S^{2}}\geqslant\frac{8(abcd)^{\frac{3}{2}}}{16S^{2}}=\frac{(abcd)^{\frac{3}{2}}}{2S^{2}}.
Следовательно,
R\geqslant\frac{(abcd)^{\frac{3}{4}}}{S\sqrt{2}}.
Равенство достигается, когда
ab=cd,~ac=bd,~ad=bc,
откуда
a=b=c=d.
Значит, ABCD
— ромб вписанный в окружность, т. е. квадрат. Обратное очевидно.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2006, № 4, задача 7, с. 225
Источник: Ирландские математические олимпиады. — 2004