13808. Из точки
P
, лежащей внутри треугольника
ABC
, опустили перпендикуляры
PD
,
PE
и
PF
на стороны
BC
,
CA
и
AB
соответственно. Оказалось, что
AP^{2}+PD^{2}=BP^{2}+PE^{2}=CP^{2}+PF^{2}.

Докажите, что
P
— центр описанной окружности треугольника с вершинами в центрах вневписанных окружностей треугольника
ABC
.
Решение. Обозначим через
p
полупериметр треугольника
ABC
, через
a
,
b
и
c
— стороны
BC
,
CA
и
AB
соответственно, а через
\alpha
,
\beta
и
\gamma
— противолежащие им углы.
Из условия
BD^{2}=BP^{2}-PD^{2}=AP^{2}-PE^{2}=AE^{2},

поэтому
BD=AE
. Аналогично,
CE=BF
и
CD=AE
. Тогда
\syst{BD+DC=a\\CE+EA=b\\AF+FB=c,}~\mbox{или}~\syst{BD+AF=a\\CE+BD=b\\AF+CE=c,}

откуда получаем, что
\syst{BD=AE=p-c\\CE=BF=p-a\\AF=CD=p-b.}

Следовательно,
D
,
E
и
F
— точки касания вневписанных окружностей треугольника
ABC
со сторонами
BC
,
CA
и
AB
соответственно (см. задачу 1750).
Пусть
I_{A}
,
I_{B}
и
I_{C}
— центры вневписанных окружностей треугольника
ABC
, противолежащих вершинам
A
,
B
и
C
соответственно. Тогда
I_{A}A
— высота треугольника
I_{A}I_{B}I_{C}
(см. задачу 4769), а так как
I_{A}D\perp BC
, то точка
D
лежит на прямой
PI_{A}
. Аналогично для точек
E
и
F
.
Поскольку
CI_{A}
— биссектриса внешнего угла при вершине
C
треугольника
ABC
, то
\angle ACI_{B}=\angle BCI_{A}=\frac{180^{\circ}-\gamma}{2}=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}.

Аналогично,
\angle ABI_{C}=\angle CBI_{A}=90^{\circ}-\frac{\beta}{2},~\angle BAI_{C}=\angle CAI_{B}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.

Кроме того, для углов треугольника
I_{A}I_{B}I_{C}
верны равенства
\angle I_{A}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},~\angle I_{B}=90^{\circ}-\frac{\beta}{2},~\angle I_{C}=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}

(см. задачу 4770). Значит,
\angle I_{C}I_{A}A=90^{\circ}-\angle I_{C}=\frac{\gamma}{2},

а так как
\angle CI_{A}P=\angle CI_{A}D=90^{\circ}-\angle BCI_{1}=90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)=\frac{\gamma}{2}=\angle I_{C}I_{A}A,

а
I_{A}A
— высота треугольника
I_{A}I_{B}I_{C}
, то точка
P
лежит на диаметре описанной окружности этого треугольника, проходящем через точку
I_{A}
(см. задачу 20). Аналогично, точка
P
лежит на диаметрах описанной окружности этого треугольника, проходящих через точки
I_{B}
и
I_{C}
. Следовательно,
P
— центр описанной окружности треугольника
I_{A}I_{B}I_{C}
. Что и требовалось доказать.
Источник: Международная математическая олимпиада. — 2003
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2007, № 8, задача G3, с. 479