13816. Точка O
— центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC
. Окружности с центрами в серединах сторон треугольника, проходящие через точку O
, вторично пересекаются в точках K
, L
и M
. Докажите, что O
— центр вписанной окружности треугольника KLM
.
Решение. Пусть X
, Y
и Z
— середины сторон BC
, CA
и AB
соответственно, K
— точка пересечения указанных в условии окружностей с центрами Y
и Z
, L
— окружностей с центрами X
и Z
, M
— окружностей с центрами X
и Y
. Тогда ZY
— серединный перпендикуляр к общей хорде OK
окружностей с центрами Y
и Z
(см. задачу 1130), а так как YZ\parallel BC
, то KO\perp BC
. Значит, точка O
лежит на прямой KX
. Аналогично, точка O
лежит на прямых MZ
и LY
.
Кроме того, O
— ортоцентр треугольника XYZ
, а точки K
, L
и M
симметричны точке O
относительно сторон этого треугольника, поэтому точки K
, L
и M
лежат на описанной окружности \Gamma
треугольника XYZ
(см. задачу 4785). Треугольник XYZ
остроугольный, так как он подобен остроугольному треугольнику ABC
. Значит, точка K
лежит на не содержащей точку X
дуге YZ
окружности \Gamma
. Аналогично для точек L
и M
.
Поскольку продолжения высот остроугольного треугольника XYZ
пересекают его описанную окружность \Gamma
в точках K
, L
и M
, то лучи KO
, LO
и MO
— биссектрисы углов треугольника KLM
(см. задачу 34). Следовательно, O
— центр вписанной окружности треугольника KLM
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2008, № 3, задача 3, с. 153
Источник: Балканская математическая олимпиада. — 2004